摘要：為實(shí)現(xiàn)艦船縱搖和升沉運(yùn)動的解耦，基于保結(jié)構(gòu)同譜流算法，提出一種解耦變換的尋找方法，將尋找解耦變換的非線性問題轉(zhuǎn)化為Sylvester方程的求解問題，并利用矩陣Kronecker積的相關(guān)知識快速找到解耦變換.基于水池實(shí)驗(yàn)獲得的縱向運(yùn)動數(shù)據(jù)進(jìn)行的數(shù)值實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明該方法確實(shí)可行.

關(guān)鍵詞：艦船縱向運(yùn)動；保結(jié)構(gòu)同譜流；水動力系數(shù)；二階微分系統(tǒng)

中圖分類號：U661.32 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Numerical decoupling of ship vertical motion system

WANG Shu-juana，SHEN Ji-honga，LI Ji-deb

（a.College of Science;b.College of Shipbuilding Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China)

Abstract:To realize the ship vertical motion decoupling，a method to find out decoupling transforms was proposed based on structure preserving isospectral flows (SPIF)，which converting nonlinear problem in the process of finding out decoupling transforms into the solution of Sylvester equation，and matrix Kronecker product knowledge was used for finding decoupling transforms out quickly.Numerical experiments based on pool experiment data show the feasibility of the proposed method.

Key words:ship vertical motion;structure preserving isospectral flows(SPIF);hydrodynamic parameters;quadratic system

0 引 言

船舶在海上的運(yùn)動往往是幾種簡單運(yùn)動的疊加，可以概括為六個自由度的搖蕩運(yùn)動.船舶各自由度的運(yùn)動是相互耦合的，因此，在研究船舶運(yùn)動特性時，通常假設(shè)六個自由度運(yùn)動是相互獨(dú)立的.但實(shí)際上，船舶運(yùn)動方程可以分解為兩組耦合方程，即縱向運(yùn)動一一升沉、縱搖和縱蕩，橫向運(yùn)動一一橫蕩、橫搖搖和艏搖.縱向運(yùn)動中，縱蕩對升沉和縱搖的耦合作用較小，通常忽略.縱搖和升沉通常是在惡劣氣候里限制航速的主要因素，在大浪中對船體結(jié)構(gòu)有重大影響，因此研究艦船縱向運(yùn)動具有重要意義[1-2].但研究艦船縱向運(yùn)動需要研究其解耦問題，以去除縱搖和升沉運(yùn)動的相互耦合影響.

基于船舶水動力理論建立的縱向運(yùn)動方程為典型的二階微分系統(tǒng)，為此，本文引入二階系統(tǒng)解耦理論研究該問題.數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域通過保持Lancaster結(jié)構(gòu)來研究二階系統(tǒng)的解耦問題[3-6]，通過尋找等價變換來實(shí)現(xiàn)Lancaster結(jié)構(gòu)中塊陣的對角化，但該變換的數(shù)值求解涉及非線性方程組求解問題，難以實(shí)現(xiàn).在文獻(xiàn)[3-4]的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[5]從理論上證明幾乎對所有的二階系統(tǒng)均存在等價變換將系統(tǒng)解耦，但并未給出等價變換的數(shù)值求解方法.文獻(xiàn)[6]提出應(yīng)用保結(jié)構(gòu)同譜流方法研究二階系統(tǒng)的解耦問題，通過一系列的保結(jié)構(gòu)、保譜變換實(shí)現(xiàn)二階系統(tǒng)的解耦.但該方法只能給出解耦后系統(tǒng)的形式，不能給出相應(yīng)的解耦變換，這使得系統(tǒng)還原及系統(tǒng)分析無法進(jìn)行，而且該方法所定義的保譜流的保譜性質(zhì)還有待進(jìn)一步完善.

本文提出一種解耦變換的尋找方法，將尋找解耦變換的非線性問題轉(zhuǎn)化為Sylvester方程求解問題，并利用矩陣Kronecker積的相關(guān)知識快速而方便地給出二階系統(tǒng)的解耦變換.對水池試驗(yàn)獲得的艦船縱向運(yùn)動數(shù)據(jù)所建立的運(yùn)動方程進(jìn)行解耦，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明該方法確實(shí)可行.

1 二階系統(tǒng)解耦方法

1.1 艦船縱向運(yùn)動方程

根據(jù)船舶水動力理論，在波浪中航行的船舶在水平舵作用下縱向運(yùn)動方程可表示為：

其中：z表示垂蕩；θ表示縱搖.將式(1)表示成矩陣形式：

其中：M、C、K和F分別為質(zhì)量、阻尼、剛度和外力矩陣，且

則艦船縱向運(yùn)動方程為典型的二階微分系統(tǒng)[1-2].

1.2 基于保結(jié)構(gòu)變換的二階系統(tǒng)解耦

設(shè)式(2)的齊次解x(t)有如下形式：

x(t)=eλtu （3）

則數(shù)值λ和U向量為二階特征值問題的非平凡解.

Q(λ)u=(λ2M+λC+K)u=0 （4）

文獻(xiàn)[3-4]中提出了實(shí)現(xiàn)三矩陣的同時對角化的一種方法.很容易證明式(4)所描述的二階特征值問題等價與廣義特征值問題：

其中，L(λ)為Lancaster結(jié)構(gòu)，

很明顯，M為非奇異時，有

如果存在非奇異的2n×2n矩陣Πt和Πr表示的等價變換保持式(6)的Lancaster結(jié)構(gòu)，即

使得MD、CD和KD均為對角矩陣，則式(3)表述的二階特征值問題等價于完全解耦的系統(tǒng)，即

（λ2MD+λCD+KD）z=0 （9）

在MD，M均為非奇異情況下，特征向量u和z具有如下關(guān)系

通過保持Lancaster結(jié)構(gòu)，該方法將多自由度的系統(tǒng)直接與單自由度的系統(tǒng)鏈接起來.根據(jù)Garvey等的思路，文獻(xiàn)[5-6]中給出將原始的n自由度系統(tǒng)解耦為n個單自由度系統(tǒng)的集合的實(shí)值變換幾乎對所有的二階系統(tǒng)均存在，并通過保結(jié)構(gòu)同譜流的數(shù)值方法來研究二階系統(tǒng)的解耦.

1.3 基于同譜流的二階系統(tǒng)解耦

若令

定義兩個隨時間變化的保結(jié)構(gòu)變換TL(t)，TR(t)∈R2n×2n,且

其中，t∈R，且TL(0)=TR(0)=I2n.若TL(t)和TR(t)非奇異，則（A(t)，B(t)）與(A0，B0)同譜.此時一類具有特殊形式的TL(t)和TR(t)可定義為

其中，Lij(t)，Rij(t)(i，j=1，2)為n×n階矩陣.則有

若保結(jié)構(gòu)由式(11)有

式(13)構(gòu)成了一個具有5n2個方程、8n2個未知數(shù)的線性系統(tǒng)，系統(tǒng)的解具有3n2個自由度，即三個n×n階自由參數(shù)矩陣.在此按照文獻(xiàn)[6]的方式引入參數(shù)矩陣D、NL、NR，使得

則此時定義了系統(tǒng)參數(shù)矩陣M、C、K隨時間的發(fā)展方向集合，可以利用數(shù)值積分的方法來求解該微分系統(tǒng)的解.但該方法只能求出解耦后的系統(tǒng)參數(shù)MD、CD和KD，卻無法求得解耦變換TL和TR.

2 基于保結(jié)構(gòu)同譜流的系統(tǒng)對角化

2.1 保結(jié)構(gòu)同譜流的實(shí)現(xiàn)

系統(tǒng)參數(shù)矩陣M，C，K的同時對角化可用一個目標(biāo)函數(shù)來表示，即

其中，‖·‖F表示矩陣的Frobenius范數(shù)；offdiag(M)為矩陣M非對角線上的部分.式(15)前半部分為三個系數(shù)矩陣非對角線上元素的平方和(全局最優(yōu)值為0)，對應(yīng)于三矩陣的對角形式；后半部分為系數(shù)矩陣對角線上元素的平方和.

式(15)描述目標(biāo)數(shù)下降最快的方向?yàn)槠湄?fù)梯度方向：

系統(tǒng)參數(shù)矩陣M，C，K沿著最接近目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度的方向發(fā)展變化，則在一定的迭代步數(shù)后便可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的對角化.按照矩陣的Kronecker積相關(guān)知識，式(14)可表示為

其中，vec(X)表示矩陣X的按列向量化.為使M，C，K沿著接近目標(biāo)函數(shù)負(fù)梯度的方向發(fā)展變化，給出自由參數(shù)矩陣D，NL，NR的最小二乘估計(jì)：

其中，X+表示矩陣X的Moore-Penrose廣義逆.

2.2 解耦變換的求解

若令

則尋找一對非奇異的Πl，和Πr，滿足

顯然，當(dāng)M與MD非奇異時，B與BD非奇異，且

將式(16)變形，得

式(17)中方程2可化為Sylvester方程的一般形式：

其中：為已知矩陣；X=Πr為待求矩陣.式(18)可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組求解問題，其方程式為

因?yàn)榻?/SPAN>耦前后系統(tǒng)具有相同的譜信，式(19)必有非零解，且不難找到非奇異的Πr=unvec(X).其中，vec表示矩陣的向量化函數(shù)；unvec表示向量的矩陣化函數(shù)[7].

3 船舶運(yùn)動系統(tǒng)解耦實(shí)例

對船模水池實(shí)驗(yàn)獲得的船舶縱向運(yùn)動方程數(shù)據(jù)進(jìn)行解調(diào)算法仿真(其中，船舶重量為425 t，船長為60 m).實(shí)驗(yàn)中船模航速為18 kn.表1為2個頻率下的運(yùn)動水動力參數(shù).

表1 艦船縱向運(yùn)動水動力參數(shù)

利用Matlab編譯代碼，并調(diào)用其ode函數(shù)實(shí)現(xiàn)保結(jié)構(gòu)同普流算法及相應(yīng)的解耦變換方法.當(dāng)遭遇頻率為1.308時，解耦變換及對應(yīng)的解耦后系統(tǒng)分別為：

圖1為三個參數(shù)矩陣對角線上元素的平方和與的目標(biāo)函數(shù)的變化曲線.由圖1可知，曲線最終趨于平穩(wěn).圖2為非對角線元素平方和的變化曲線.由圖2可知，曲線最終趨于零，實(shí)現(xiàn)了三個參數(shù)矩陣的同時對角化.

當(dāng)遭遇頻率為1.068時，解耦變換及對應(yīng)的解耦后系統(tǒng)分別為：

圖3為三個參數(shù)矩陣對角線上元素平方和與目標(biāo)函數(shù)變化曲線；圖4為非對角線元素平方和的變化曲線.

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，該方法在極小誤差下實(shí)現(xiàn)了艦船縱向運(yùn)動系統(tǒng)的數(shù)值解耦，保證了系統(tǒng)的同譜性質(zhì).給出的相應(yīng)的解耦變換進(jìn)一步完善了系統(tǒng)的解耦理論.

4 結(jié) 論

本文將保結(jié)構(gòu)同譜流方法引入艦船縱向運(yùn)動的解耦研究中，通過選定合理的系統(tǒng)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)縱搖和升沉運(yùn)動的解耦.對保結(jié)構(gòu)同譜方法進(jìn)行改進(jìn)，將求解尋找解耦變換的非線性問題轉(zhuǎn)化為Sylvester方程求解，并利用矩陣的卡式積理論給出解耦變換.根據(jù)水池實(shí)驗(yàn)獲得的縱向運(yùn)動數(shù)據(jù)進(jìn)行算法仿真，給出浪向角為0°，航速為18 kn時兩個頻率下的艦船縱向運(yùn)動系統(tǒng)解耦結(jié)果.數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可將原始艦船縱向運(yùn)動系統(tǒng)解耦，并給出相應(yīng)的解耦變換.

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[7]張賢達(dá).矩陣分析與應(yīng)用[M].北京:清華大學(xué)出版社，2004.

作者：王淑娟，沈繼紅，李積德  來源：大連海事大學(xué)學(xué)報(bào)